# Analysis On Manifolds by James R. Munkres

By James R. Munkres

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4 Im Riccikalk¨ ul sieht das dann so aus: Ist A = (aij ) und a = (aij ) (mit aij = a(ei , ej )), so gilt aij = gik akj , 3 4 akj = g ki aij . ) aufgefasst wird und a ebenso, dann ist A = g −1 a. 16) Spurg a = aii = g ij aji . 17) C ¨ dabei ist | det ∂Xu | der Verzerrungsfaktor f¨ ur den Fl¨acheninhalt beim Ubergang von C zu X(C). Allerdings ist | det ∂Xu | erst noch zu deﬁnieren, denn A = ∂Xu ist eine lineare Abbildung zwischen zwei verschiedenen Vektorr¨ aumen, Rm und Rn , und daf¨ ur ist | det A| noch gar nicht erkl¨art.

Aus einer Linearform ein Vektor wird. ul des wechselseitigen Umwandelns von Dieser nach Ricci 3 benannte Kalk¨ Vektoren und Linearformen durch Herunter- und Heraufziehen von Indizes l¨asst sich noch weiter fortsetzen. Die Matrixkoeﬃzienten einer m × m-Matrix A, eines Endomorphismus von Rm , schreiben wir mit oberem und unterem Index: Aei = aji ej . Die Spur von A ist also aii (Summation u ¨ ber i). Dabei ist der obere Index der erste, der Zeilenindex. Die Matrixkoeﬃzienten eines Produkts C = AB sind demnach cik = aij bjk .

33) f¨ ur eine ganze Zahl k, die Tangentendrehzahl genannt wird, denn sie gibt an, wie oft der Tangentenvektor c (t) die Kreislinie uml¨auft, wenn wir den Parameter t das ganze Intervall [a, b] durchlaufen lassen. Wenn wir die geschlossene Kurve stetig deformieren, und zwar so, dass auch der Tangentenvektor stetig deformiert wird ( regul¨are Homotopie“), kann sich diese Zahl nicht ¨andern, ” weil sie stetig vom Deformationsparameter abh¨angt, aber immer ganz bleiben muss. Nach dem Satz von Whitney und Graustein 9 gilt auch die Umkehrung: Wenn zwei geschlossene Kurven dieselbe Tangentendrehzahl haben, lassen sie sich durch eine regul¨ are Homotopie ineinander deformieren, wie zum Beispiel in der folgenden Figur: Eine geschlossene Kurve c : [a, b] → E2 heißt einfach geschlossen, wenn sie injektiv auf [a, b) ist, also kein Punkt doppelt durchlaufen wird (keine Selbstschnitte).