By James R. Munkres
A readable advent to the topic of calculus on arbitrary surfaces or manifolds. obtainable to readers with wisdom of uncomplicated calculus and linear algebra. Sections contain sequence of difficulties to enhance concepts.
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Complex, contact and symmetric manifolds: In honor of L. Vanhecke
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Differential Geometry and the Calculus of Variations
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4 Im Riccikalk¨ ul sieht das dann so aus: Ist A = (aij ) und a = (aij ) (mit aij = a(ei , ej )), so gilt aij = gik akj , 3 4 akj = g ki aij . ) aufgefasst wird und a ebenso, dann ist A = g −1 a. 16) Spurg a = aii = g ij aji . 17) C ¨ dabei ist | det ∂Xu | der Verzerrungsfaktor f¨ ur den Fl¨acheninhalt beim Ubergang von C zu X(C). Allerdings ist | det ∂Xu | erst noch zu definieren, denn A = ∂Xu ist eine lineare Abbildung zwischen zwei verschiedenen Vektorr¨ aumen, Rm und Rn , und daf¨ ur ist | det A| noch gar nicht erkl¨art.
Aus einer Linearform ein Vektor wird. ul des wechselseitigen Umwandelns von Dieser nach Ricci 3 benannte Kalk¨ Vektoren und Linearformen durch Herunter- und Heraufziehen von Indizes l¨asst sich noch weiter fortsetzen. Die Matrixkoeffizienten einer m × m-Matrix A, eines Endomorphismus von Rm , schreiben wir mit oberem und unterem Index: Aei = aji ej . Die Spur von A ist also aii (Summation u ¨ ber i). Dabei ist der obere Index der erste, der Zeilenindex. Die Matrixkoeffizienten eines Produkts C = AB sind demnach cik = aij bjk .
33) f¨ ur eine ganze Zahl k, die Tangentendrehzahl genannt wird, denn sie gibt an, wie oft der Tangentenvektor c (t) die Kreislinie uml¨auft, wenn wir den Parameter t das ganze Intervall [a, b] durchlaufen lassen. Wenn wir die geschlossene Kurve stetig deformieren, und zwar so, dass auch der Tangentenvektor stetig deformiert wird ( regul¨are Homotopie“), kann sich diese Zahl nicht ¨andern, ” weil sie stetig vom Deformationsparameter abh¨angt, aber immer ganz bleiben muss. Nach dem Satz von Whitney und Graustein 9 gilt auch die Umkehrung: Wenn zwei geschlossene Kurven dieselbe Tangentendrehzahl haben, lassen sie sich durch eine regul¨ are Homotopie ineinander deformieren, wie zum Beispiel in der folgenden Figur: Eine geschlossene Kurve c : [a, b] → E2 heißt einfach geschlossen, wenn sie injektiv auf [a, b) ist, also kein Punkt doppelt durchlaufen wird (keine Selbstschnitte).