By Jost-Hinrich Eschenburg, Jürgen Jost
Das vorliegende Lehrbuch bietet eine moderne Einführung in die Differenzialgeometrie - etwa im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Zunächst behandelt es die Geometrie von Flächen im Raum. Viele Beispiele schulen Leser in geometrischer Anschauung, deren wichtigste Klasse die Minimalflächen bilden. Zu ihrem Studium entwickeln die Autoren analytische Methoden und lösen in diesem Zusammenhang das Plateausche challenge. Es besteht darin, eine Minimalfläche mit vorgegebener Berandung zu finden. Als Beispiel einer globalen Aussage der Differenzialgeometrie beweisen sie den Bernsteinschen Satz. Weitere Kapitel behandeln die innere Geometrie von Flächen einschließlich des Satzes von Gauss-Bonnet, und stellen die hyperbolische Geometrie ausführlich dar. Die Autoren verknüpfen geometrische Konstruktionen und analytische Methoden und folgen damit einem zentralen development der modernen mathematischen Forschung. Verschiedene geistesgeschichtliche Bemerkungen runden den textual content ab. Die Neuauflage wurde überarbeitet und aktualisiert.
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4 Im Riccikalk¨ ul sieht das dann so aus: Ist A = (aij ) und a = (aij ) (mit aij = a(ei , ej )), so gilt aij = gik akj , 3 4 akj = g ki aij . ) aufgefasst wird und a ebenso, dann ist A = g −1 a. 16) Spurg a = aii = g ij aji . 17) C ¨ dabei ist | det ∂Xu | der Verzerrungsfaktor f¨ ur den Fl¨acheninhalt beim Ubergang von C zu X(C). Allerdings ist | det ∂Xu | erst noch zu definieren, denn A = ∂Xu ist eine lineare Abbildung zwischen zwei verschiedenen Vektorr¨ aumen, Rm und Rn , und daf¨ ur ist | det A| noch gar nicht erkl¨art.
Aus einer Linearform ein Vektor wird. ul des wechselseitigen Umwandelns von Dieser nach Ricci 3 benannte Kalk¨ Vektoren und Linearformen durch Herunter- und Heraufziehen von Indizes l¨asst sich noch weiter fortsetzen. Die Matrixkoeffizienten einer m × m-Matrix A, eines Endomorphismus von Rm , schreiben wir mit oberem und unterem Index: Aei = aji ej . Die Spur von A ist also aii (Summation u ¨ ber i). Dabei ist der obere Index der erste, der Zeilenindex. Die Matrixkoeffizienten eines Produkts C = AB sind demnach cik = aij bjk .
33) f¨ ur eine ganze Zahl k, die Tangentendrehzahl genannt wird, denn sie gibt an, wie oft der Tangentenvektor c (t) die Kreislinie uml¨auft, wenn wir den Parameter t das ganze Intervall [a, b] durchlaufen lassen. Wenn wir die geschlossene Kurve stetig deformieren, und zwar so, dass auch der Tangentenvektor stetig deformiert wird ( regul¨are Homotopie“), kann sich diese Zahl nicht ¨andern, ” weil sie stetig vom Deformationsparameter abh¨angt, aber immer ganz bleiben muss. Nach dem Satz von Whitney und Graustein 9 gilt auch die Umkehrung: Wenn zwei geschlossene Kurven dieselbe Tangentendrehzahl haben, lassen sie sich durch eine regul¨ are Homotopie ineinander deformieren, wie zum Beispiel in der folgenden Figur: Eine geschlossene Kurve c : [a, b] → E2 heißt einfach geschlossen, wenn sie injektiv auf [a, b) ist, also kein Punkt doppelt durchlaufen wird (keine Selbstschnitte).