By Jean-Claude Sidler
Rendre claires et séduisantes les démonstrations des grands classiques de l. a. géométrie airplane sous l’éclairage de l. a. géométrie projective, tel est l’objectif de ce livre.
Suivant comme fil conducteur les notions d’homographie et de dualité, Jean-Claude Sidler démontre, dans un langage easy et moderne, des théorèmes d’une grande souplesse et d’une grande fécondité, qui ont pour nom Pappus, Desargues, Pascal, Chasles… Cette approche originale dégage l’essentiel et advisor naturellement vers des suggestions rapides et élégantes de l. a. plupart des problèmes de géométrie plane.
Dans cette deuxième édition entièrement revue et corrigée, un complément sur les isométries et les similitudes à été ajoute ainsi que de nouveaux exercices et problèmes corrigés.
Le présent ouvrage offrira une aide précieuse aux étudiants, aux candidats au CAPES et à l’agrégation — voire aux ingénieurs ayant besoin de s’initier aux méthodes projectives — ainsi qu’aux enseignants souhaitant cultiver ou remettre à l’honneur l’enseignement de los angeles géométrie.
===== desk des matières =====
Préface
Avant-propos
Avertissement au lecteur
Chapitre 1 — Généralités sur les espaces projectifs
1.1 Espace projectif
1.2 Coordonnées homogènes
1.3 Cartes affines
1.3.1 Carte affine d’une droite projective
1.3.2 Carte affine d’un plan projectif
1.3.3 Du bon utilization d’une carte affine
1.4 Homographies
1.4.1 Propriétés générales des homographies
1.4.2 Repère projectif
1.5 Birapport de quatre issues alignés
1.5.1 Formules utiles
1.5.2 Quelques résultats utiles
1.6 Rapport harmonique de quatre issues alignés
1.7 Dualité dans le plan projectif
1.7.1 Corrélations
1.7.2 Propositions duales
1.8 Birapport de quatre droites concourantes
1.9 Complexification du plan projectif réel
1.10 Compléments sur le plan projectif réel
Chapitre 2 — Homographies entre droites projectives
2.1 Généralités
2.2 Les projections
2.2.1 awl d’homographie
2.2.2 building de l’axe d’une homographie entre droites projectives
2.3 Expressions analytiques
2.4 Faisceaux de droites d’un plan projectif
2.4.1 Projections
2.4.2 Centre d’homographie
2.4.3 Homographies entre droites projectives et faisceaux de droites
2.5 Exercices
Chapitre three — Groupe des homographies d’une droite projective
3.1 issues fixes d’une homographie : définitions et généralités
3.2 Involutions
3.3 Propriétés des homographies hyperboliques
3.4 Homographies paraboliques
3.5 Homographies elliptiques d’une droite projective réelle
3.6 structures géométriques
3.7 Théorème duaux
3.8 Deuxième théorème de Desargues
3.9 Exercices
Chapitre four — Homographies du plan projectif
4.1 Détermination d’une homographie plane
4.1.1 issues fixes d’une homographie
4.1.2 category des homographies d’un plan projectif réel
4.1.3 Droites invariantes d’une homographie plane
4.2. Les homologies
4.2.1 building géométrique de l’image d’un aspect par une homologie
4.2.2 Les homologies dans une carte affine
4.3 Les adjustments affines
4.4 Les involutions du plan projectif
4.5 Générateurs du groupe projectif
4.6 Quelques propriétés classiques
4.7 Orthogonalité
4.7.1 Involution canonique
4.7.2 issues cycliques
4.8 Similitudes
4.8.1 attitude de deux droites. Bissectrices
4.8.2 Déplacements
4.9 Exercices
Chapitre five — Homographies et coniques
5.1 Description géométrique d’une conique
5.1.1 Cas particulier où los angeles conique est dégénérée
5.1.2 Autres formulations du théorème de Chasles-Steiner
5.1.3 Tangentes à une conique définie par une homographie
5.1.4 Birapport de quatre issues d’une conique propre
5.1.5 issues conjugués harmoniques sur une conique
5.2 Homographie d’une conique sur elle-même
5.2.1 Projection d’une conique sur une droite
5.2.2 Homographies d’une conique et homographies planes
5.3 Décomposition d’une homographie. awl d’homographie
5.4 Coniques affines
5.4.1 Arc capable
5.4.2 Les rotations
5.4.3 l. a. géométrie de Lobatchevsky
5.5 Coniques tangentielles
5.5.1 Transformation par polaire réciproque
5.5.2 Homographies et coniques tangentielles
5.5.3 Tangentes à l. a. conique
5.5.4 Birapport de quatre tangentes à une conique
5.5.5 Homographie entre les tangentes à une même conique propre
5.6 Exercices
Chapitre 6 — Faisceaux de coniques dans un plan projectif complexe
6.1 Les faisceaux de coniques et leur classification
6.2 type des faisceaux non dégénérés du plan projectif complexe
6.3 Faisceaux et polarité
6.3.1 Conique des onze points
6.3.2 Coniques affines
6.3.3 Conique des neuf points
6.3.4 Le cercle d’Euler
6.4 Troisième théorème de Desargues
6.5 Faisceaux tangentiels
6.5.1 Classification
6.5.2 Exemples de faisceaux tangentiels
6.6 Exercices
Chapitre 7 — Exercices de référence
Chapitre eight — Problèmes classiques
8.1 Triangles et cercles. Problèmes classiques sous l’éclairage projectif
8.2 Lieux et enveloppes
8.3 Coniques homologiques
8.4 Quelques cas particuliers du grand théorème de Poncelet
8.5 Six ou huit issues sur une conique
8.6 Quelques propriétés classiques des coniques affines
Solutions des exercices de fin de chapitre
Appendice — Rappel de quelques définitions
A.1 Espaces projectifs
A.2 Équation d’une droite
A.3 Coniques d’un plan projectif
Bibliographie
Index
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Example text
This function depends in a C“ way on xo. In addition, a depends on xo,but can be chosen independent of xo over any compact subset of D. (c) Ifo(t), a 5 t I 6 , is an integral curve of A’, so is thecurve o,(t)= a(t +c), a-c I tI b - c, obtained by translating the time” parametrization of 0. 2). 2) does not contain t explicitly on the righthand side (that is, it is a so-called autonomous system). 2) so that we can obtain integral curves defined over maximal domains of t. For example, start off with an integral curve o(t), 0 I t 2 a , , with o(0) = xo.
3, which finishes the proof. 5. Implicit Function Theorem for Mappings 33 Finally we remark that all these different versions of the implicit function theorem may be intuitively summarized by saying that arbitrary C“ mappings satisfying maximal rank conditions behave locally just as linear mappings of vector spaces. Thus there is a good technical reason why a thorough knowledge of linear algebra is one of the most important prerequisites for the study of differential geometry! Exercises 1. Suppose 4 : M + N is a maximal rank mapping of manifolds (that is, &(Mp) = N 4 ( p )for all p E M ) .
Thus the system of order (n - 1) can be solved first, and then x l ( t ) can be found by “ quadrature,” that is, by an integration. The order of the differential equations defining the integral curves of Y has been essentially reduced by 1 . ” These observations constitute Lie’s main contribution to the classical problem of solving differential equations in the plane. If dY - P ( X l Y ) dx Q ~ Y ) is such a differential equation, the solution curves, when written in parametric form, are the integral curves of Lie observed that all the classical tricks for “solving” this equation by quadrature were associated, in the way we described above, with a one-parameter group of transformations in the plane.