By Professor Dr. Walter Knödel (auth.)
Im letzten Jahrzehnt hat die Mathematisierung von Fachgebieten, die vorher heuristisch bearbeitet wurden, große Fortschritte erzielt. Dies gilt für das Straßenverkehrswesen ebenso wie für die Steuerung und überwachung umfangreicher Projekte. Meist handelt es sich darum, aufgrund eines Modells der Wirklichkeit Entscheidungen zu treffen, die eine Zielfunktion optimieren. Dabei kann die Anzahl der möglichen Entscheidungen endlich sein, wie bei der Frage, in welcher Reihenfolge vier Orte besucht werden sollen, damit die zurückgelegte Strecke mög lichst klein wird; oder das Modell kann sich der abstrakten Vorstellung unendlich vieler Möglichkeiten bedienen, wie bei der Auswahl eines Zeitpunkts aus einer kontinuierlich ablaufenden Zeit. Die endlichen Modelle können bei aller Verschiedenheit wegen ihres kombinatorischen Charakters vorteilhaft mit· graphentheoretischen Methoden behandelt werden. Der vorliegende Band liefert dafür exemplarische Beispiele. Die Aus wahl erfolgte dabei aufgrund meiner persönlichen Neigung und Erfah rungen, so daß Probleme der Straßenverkehrstechnik im Vordergrund stehen. Ordnungsgesichtspunkt bei der Gliederung des Stoffes waren jedoch nicht die Anwendungsgebiete, sondern die verwendeten Modelle und Methoden, wie es sich in den Überschriften der Kapitel 2 - five wider spiegelt. Die Methoden sind bis zu rechenfähigen Algorithmen ausge arbeitet. Meine Absicht warfare verständliche Darstellung der Zusammen hänge und Fassung des Erarbeiteten in Rechenvorschriften, nicht aber eine bloß rezeptmäßige Aufzählung von Techniken. In Kapitell sind die benützten graphentheoretischen Begriffe für den Nichtmathematiker zusammengestellt und erklärt.
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Des Anfangspunktes i Nr. des Endpunktesj Bewertung der Kante d ij 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 9 10 10 11 12 12 13 13 14 15 16 17 5 6 10 18 4 8 11 6 8 13 6 7 9 7 9 8 13 3 11 8 6 23 16 26 6 7 6 7 6 8 6 15 10 7 3 23 30 7 8 5 21 8 7 11 15 12 14 16 14 16 15 18 17 18 11 3 2 Kürzeste Wege 21 Wege aus einem Labyrinth Wir betrachten einen Graphen G mit den Knoten P1, ... , Pn und stellen uns die Aufgabe, einen Weg von einem Knoten Pa von G zu einem Knoten Pe von G zu finden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit numerieren wir die Knotenpunkte des Graphen so, daß Pa mit P1 zusammenfallt.
Eine solche Annahme ist zum Beispiel gerechtfertigt, wenn Linksabbieger wegen starkem Gegenverkehr länger warten müssen als geradeaus fahrende Verkehrsteilnehmer, oder wenn den Benützern eines öffentlichen Verkehrsmittels in einer Richtung eine direkte Fahrgelegenheit zur Verfügung steht, während sie in einer anderen Richtung zum Umsteigen gezwungen sind (auf die Verhältnisse am Anfangs- und Endpunkt der Fahrt werden wir unten noch zurückkommen). Diese verallgemeinerte Aufgabenstellung läßt sich auf das bereits gelöste Problem der Bestimmung kürzester Bahnen zurückführen.
Dies erfordert aber umfangreichen Rechenaufwand, der sich bei den geringen Informationen, die wir zur Zeit über die Fahrgewohnheiten der Verkehrsteilnehmer besitzen, nicht lohnt. Im nächsten Abschnitt werden wir versuchen, durch neue Überlegungen zur Lösung des Problems beizutragen. Hier wollen wir uns weiter mit dem Problem der rn-kürzesten Kantenfolge auseinandersetzen. Dab~i bezeichnen wir rn auch als Ordnung der Kantenfolge. 2 Kürzeste Wege 50 Wollen wir m-kürzeste Kantenfolgen für m= 1(1) ml von Pa nach Pe berechnen, so benützen wir eine Verallgemeinerung des Algorithmus 4, die meines Wissens neu und den bisherigen Verfahren vor allem bezüglich der Rechenzeit überlegen ist, da die Rechenzeit nur proportional zur höchsten verlangten Ordnung ansteigt.