By Oliver Deiser
Dieses Buch bietet eine kompakte und rigorose Darstellung wichtiger Grundbegriffe der modernen Mathematik. Es wendet sich an Abiturienten, die einen mathematischen Studiengang in Erwägung ziehen, Teilnehmer eines mathematischen Vor- oder Brückenkurses, Studierende der Mathematik im ersten Studienjahr, interessierte Laien, Lehrer und Dozenten der Mathematik.
Der textual content beginnt mit einer Einführung in die Sprache der Mathematik, in der ausführlich das mathematische Argumentieren,Mengen, Relationen und Funktionen behandelt werden. Danach werden die Zahlen von den natürlichen Zahlen bis hin zu den komplexen Zahlen und Quaternionen vorgestellt, wobei die Struktureigenschaften der natürlichen und der reellen Zahlen im Zentrum stehen. Die zweite Hälfte des Buches unternimmt dann erste Schritte hin zu mathematischen Theoriebildungen. Wir untersuchen Teiler, Grenzwerte, Matrizen, Gruppen, Graphen und Wahrscheinlichkeiten.
Das Buch fordert seinen Leser zurMitarbeit auf und enthält three hundred Übungsaufgaben, die den einzelnen Sektionen zugeordnet sind. Zu ausgewählten Übungen werden Lösungsvorschläge bereitgestellt, um das Selbststudium zu erleichtern.
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Was man nun als nicht weiter definierte, nur mit Hilfe von Axiomen beschriebene Grundbegriffe ansieht, ist eine Frage der Ziele, die man verfolgt, und auch eine Frage, welchen Grad an Präzision man letztendlich erreichen möchte. Die Mathematik hat über Jahrhunderte mit Zahlen und geometrischen Figuren gearbeitet, ohne sie genau zu definieren. Das funktionierte und funktioniert auch heute noch sehr gut, da man in Beweisen immer nur bestimmte Eigenschaften der Grundobjekte verwendet, auf die man sich einigen kann, ohne die Grundobjekte genau zu definieren.
Welche Fragen stellen Sie ? ] 1. Mathematisches Argumentieren 37 Übung 5 (Semantik der Junktoren : Junktoren in der Umgangssprache, I) (L) In der Umgangssprache werden die beiden folgenden Sprechweisen gleichwertig gebraucht : (a) Hunde und Katzen dürfen nicht an Bord. (b) Hunde oder Katzen dürfen nicht an Bord. Welche Tautologie wird hier verwendet ? “ Auf welche Tautologie wird hier angespielt ? Übung 7 (Semantik der Junktoren : Hierarchischer Aufbau der Junktoren, I) Welche Bedeutung hat die verneinte Äquivalenz ¬ (A ↔ B) ?
Dennoch strebt die Mathematik nach höchster Genauigkeit, und speziell bei ihrem heutigen selbstbewußten Umgang mit unendlichen Objekten ist eine Klärung der Fundamente unumgänglich, um ein gewisses Vertrauen in die Widerspruchsfreiheit des gesamten Systems etablieren zu können. Hier spielt nun eine ausgezeichnete Grundrelation die herausragende Rolle, nämlich die Elementbeziehung „x ist ein Element der Menge y“. Die Sprache der modernen Mathematik ist mengentheoretisch geprägt, und man kann sogar die gesamte Mathematik aus der Mengenlehre heraus aufbauen.