By Carlos Moreno González
Libro de los angeles UNED
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Inevitablemente la imagen rectangular de un sistema lineal est´a siempre en nuestra mente. No obstante, ser´ıa un error, si en un problema real, se tratase de almacenar una matriz dispersa en modo rectangular completo. Es decir, si la matriz posee una proporci´on peque˜ na de coeficientes que no son nulos, lo realmente eficiente es buscar una estructura que almacene u ´nicamente la informaci´on u ´til. Se puede precisar esta idea con el concepto de densidad de una matriz. Concretamente, se define la densidad de una matriz como el cociente entre el n´ umero de coeficientes no nulos y el n´ umero total de coeficientes.
La idea de este m´etodo es la siguiente: Se considera una matriz M f´acilmente invertible que se conoce como preacondicionador (preconditioner). Con ayuda de esta matriz se construye la ecuaci´on de punto fijo x = x − M−1 (Ax − b) que se acomoda a la situaci´on de la secci´on anterior si se toma H = I − M−1 A y c = M−1 b. De acuerdo con el teorema 5 de la p´agina 45, la dificultad est´a en encontrar pre-acondicionadores que verifiquen ρ(I − M−1 A) < 1 y que la resoluci´on del sistema lineal M(x(k+1) − x(k) ) = b − Ax(k) pueda realizarse de un modo muy simple.
Demostraci´ on: Si x es la soluci´on del sistema lineal x = Hx + c, cumple que x(k+1) − x = H(x(k) − x) = · · · = Hk+1 (x(0) − x). 1) para cualquier norma vectorial, en el supuesto de que la norma matricial est´e subordinada a ella. De este modo, si ρ(H) < 1, para cualquier n´ umero real ϵ tal que 0 < ϵ < 1−ρ(H), del teorema 1 de la p´agina 20 se desprende que existe una norma vectorial tal que la norma subordinada ∥ ∥ correspondiente verifica que ρ(H) < ∥H∥ < ρ(H) + ϵ < 1. En consecuencia, se tiene que lim ∥x(k+1) − x∥ = 0.