Lineare Algebra und Geometrie by Prof. Dr. rer. nat. Heiner Zieschang (auth.)

By Prof. Dr. rer. nat. Heiner Zieschang (auth.)

Das Buch führt in die lineare und multilineare Algebra sowie Geometrie ein: Gruppen, Körper,Vektorräume und lineare Abbildungen, affine und euklidische Räume, Matrizen und Determinanten, lineare Gleichungssysteme, Normalformen von quadratischen Matrizen und Formen, Tensorprodukt, äußere Algebra, Vektorprodukt. Dabei wird das Wechselspiel zwischen Algebra und Geometrie herausgestellt und bei Beweisen benutzt. Der Standardstoff wird ergänzt durch: numerische Behandlung linearer Gleichungssysteme;Lineare Optimierung und Simplexverfahren; Hinweise auf die Programmierung von Aufgaben der lineare Algebra: Einführung in die Gruppentheorie, speziell die Klassifikation der endlich erzeugten abelschen Gruppen; Projektive Geometrie; die klassichen Geometrien; sphärische Trigonometrie und Navigation; eine Einführung in die Grundlagen der Geometrie. Das Buch eignet sich für Studenten der Mathematik, Informatik und Physik, sowie zum Eigenstudium. Die Zusätze sollen die Kenntnisse der Geometrie erweitern und einen Blick in die Fragestellungen der Numerik geben. Deshalb ist es besonders für Lehramtskandidate, aber auch für Mathematiklehrer geeignet.

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Wir wollen nun mit vollstandiger Induktion beweisen, daB die Studenten eines Horsaals entweder alle weiblich oder alle mannlich sind. 2 Vollstandige Induktion, Widerspruchsbeweis und einige Anwendungen 35 im Horsaal nur ein Student ist. Nun gelte die Aussage stets, wenn hochstens n 2:: 1 Studenten im Horsaal sind. Behandeln wir nun den Fall, in dem n+ 1 Student en im Horsaal sind. Ein studentisches Wesen verlafit mal kurz den Horsaal. Nach Induktionsannahme sind dann alle Studenten weiblich oder alle mannlich.

Gilt n nZ = {a}. nEl\!. Sei An := {i E Z: -n:S i :S n}, n E N. Dann ist nAn = {O}, UAn = Z. nEl\! n und U verhalten sich assoziativ und kommutativ. 7 Satz Die Mengenoperationen (AnB) nG AnB , , B ewe is" An (BnG), BnA, (A U B) U G AuB Au (BUG); BuA. der ersten Formel. x E (A n B) n G <=} (x E A n B) und (x E G) <=} ((x E A) und (x E B)) und (x E G) & <=} (x E A) und ((x E B) und (x E G)) (x E A) und (x E B n G) <=} x E A n (B n G). Der mit (*) gekennzeichnete Doppelpfeil ist der einzige, der sich nicht aus den Definitionen ergibt, sondern unserer Vorstellung entspricht, daB keine Klammern gesetzt werden mussen, wenn wir sagen, daB x in A und in B und in G liegt.

A - a' = xn. Deshalb ist (b - b')n = xnm, also b - b' = xm. 0 Wie anfangs gesagt, werden bei logischen Schlussen aus richtigen Aussagen weitere richtige Aussagen gewonnen. Oftmals aber wird ein solcher Beweis "andersherum" gefuhrt. 12 Widerspruchsbeweis Urn die Aussage A zu beweisen, nehmen wir an, daB A nicht wahr ist, und gewinnen daraus einen Widerspruch. Also ist die Aussage A doch richtig. h. keine rationale Zahl. j2 ist rational. j2 eine Darstellung v'2 = m, n m,n E N,ggT(m,n) = 1. Durch Quadrieren folgt 2 = ~, also 2n2 = m 2.

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