By Stephen H. Schnauel William F. Lawvere
En este libro pretendemos explorar las consecuencias de una concepción nueva y
fundamental de los angeles naturaleza de las matemáticas, los angeles cual ha conducido a métodos
mejores para comprender y utilizar los conceptos matemáticos. Aunque esta concepción
parece uncomplicated, no es lo suficientemente well-known; dominarla requiere de cierto
esfuerzo, pero dicho esfuerzo ser ́a recompensado con una claridad de comprensión
que sera útil para descifrar los aspectos matemáticos de cualquier tema.
La noción básica que subyace a todas las demás es los angeles de categoría o “universo
matemático”. Hay diversas categorías, una indicada para cada tema specific, y
hay formas de pasar de una categoría a otra. Al introducir de manera casual esta
noción con algunos ejemplos, veremos que los ingredientes ser ́an objetos, morfismos
y composición de morfismos.
La concept de que las matemáticas involucran diferentes categorías y las relaciones
que hay entre éstas ha estado implícita durante siglos; no obstante, no fue sino hasta
1945 cuando Eilenberg y Mac Lane dieron definiciones explícitas de las nociones
básicas en su revolucionario artículo “A common conception of common equivalences”, en
el que sintetizan muchas décadas de análisis del funcionamiento de las matemáticas
así como de las relaciones entre sus partes.
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Example text
Recuerden que en el art´ıculo i vimos que este morfismo se llama morfismo identidad. Cualquier conjunto B tiene un morfismo identidad, el cual se denota 1B G B B y env´ıa cada elemento del dominio a s´ı mismo. Este morfismo ciertamente satisface 1B ◦1B =1B . ) Estas propiedades de los morfismos identidad son como la propiedad del n´ umero 1, que al ser multiplicado por cualquier otro n´ umero da ese mismo n´ umero. As´ı pues, los morfismos identidad se comportan con respecto a la composici´on como lo hace el n´ umero 1 con respecto a la multiplicaci´on.
Me alegra que menciones el orden. Es cierto que la ley asociativa dice que dos actos, el de preceder por h y el de seguir por f , pueden ser llevados a cabo en cualquier orden; pero uno debe recordar que el orden de los factores s´ı importa. Consideren los dos morfismos: Miguel Sheri F´ atima f GI Miguel I Sheri y F´ atima Miguel Sheri F´ atima g E Completen el diagrama de f ◦g y vean lo que obtienen: g Miguel Sheri F´ atima G Miguel I Sheri E f F´ atima Miguel Sheri F´ atima f ◦g GI Miguel I Sheri F´ atima Miguel Sheri ´ atima G Miguel I Sheri F´ atima 25 ´n conjuntos, morfismos y composicio Ahora efect´ uen la composici´on siguiendo el orden opuesto: Miguel Sheri F´ atima g f Miguel Sheri F´ atima Miguel Sheri F´ atima g ◦f Miguel Sheri F´ atima Miguel Sheri F´ atima Los dos resultados son diferentes.
Por ejemplo, estas dos colecciones pluma Madre A piedra Padre B flor Ni˜ no son similares. ¿En qu´e aspecto? ) Despu´es de pensarlo un poco, podr´ıa llegar a la conclusi´on de que la similitud est´a de hecho dada por la elecci´on de un morfismo, por ejemplo, ´este: G pluma Madre A G piedra Padre B G flor Ni˜ no ¿Qu´e propiedades especiales tiene este morfismo f ? Nos gustar´ıa que ´estas fueran expresadas completamente en t´erminos de la composici´on de morfismos para as´ı usar despu´es la misma idea en otras categor´ıas, al igual que en la categor´ıa de los conjuntos finitos.