Projective geometry by Jürgen Müller

By Jürgen Müller

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A) Man zeige: Ein Isomorphismus G → G ′ ist eindeutig durch die von ihm induzierte Bijektion V → V ′ bestimmt. a) Man zeige: Ist α : V → V ′ eine Bijektion, so daß f¨ ur alle P, Q, R ∈ V die Menge {P, Q, R} ⊆ V genau dann kollinear ist, wenn {α(P ), α(Q), α(R)} ⊆ V ′ kollinear ist, so kann α zu einem Isomorphismus G → G ′ fortgesetzt werden. 9) Aufgabe: Degenerierte affine Ebenen. Man gebe alle Geometrien vom Rang 2 an, die die Axiome (A1) und (A2), aber nicht das Axiom (A3) erf¨ ullen. 10) Aufgabe: Degenerierte projektive Ebenen.

C)∗ Ein Parkett heißt regul¨ ar, wenn es ein n ∈ N gibt, so daß jedes Polygon ein regul¨ ares n-Eck ist. Man bestimme alle regul¨ aren Parkette. 5) Aufgabe: W¨ urfel und Tetraeder. a) Es seien C und T die aus den Ecken, Kanten und Fl¨ achen des Euklidischen W¨ urfels bzw. Tetraeders gebildeten Teilgeometrien vom Rang 3. Wieviele Fahnen besitzen sie jeweils? Wieviele davon sind maximal? b) Man betrachte die aus den Ecken und Kanten, den Ecken und Fl¨ achen bzw. den Kanten und Fl¨ achen gebildeten Teilgeometrien von C und T vom Rang 2.

Es seien F ein Schiefk¨ orper sowie a ∈ F und 0 = b ∈ F mit a = b−1 . Man zeige die Hua-Identit¨ at: Es gilt ((a − b−1 )−1 − a−1 )−1 = aba − a. 22) Aufgabe: Hamilton-Quaternionen. Die Menge der Hamilton-Quaternionen sei definiert als H := α −β ∈ C2×2 ; α, β ∈ C . β α a) Man zeige: H ist ein C-Vektorraum mit dimC (H) = 2 und ein R-Vektorraum mit dimR (H) = 4. Man gebe eine C-Basis und eine R-Basis von H an. b) Man zeige: H ist ein nicht-kommutativer Schiefk¨orper. Man bestimme das Zentrum Z(H) := {q ∈ H; pq = qp f¨ ur alle p ∈ H}.

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