Une introduction aux problèmes inverses elliptiques et by Mourad Choulli

By Mourad Choulli

Cet ouvrage est consacré � une advent aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques. L’ objectif est de présenter quelques méthodes récentes pour établir des résultats d’unicité et de stabilité. Seront traités quelques problèmes inverses elliptiques devenus maintenant classiques, tels que los angeles conductivité inverse, l. a. détection de corrosion ou de fissures et les problèmes spectraux inverses. Parmi les problèmes inverses paraboliques considérés figurent le problème classique de retrouver une distribution initiale de l. a. chaleur et los angeles localisation de assets, de chaleur ou de toxins par exemple. Les problèmes d’identification de non linéarités seront aussi étudiés.

Cet ouvrage s’adresse � tous ceux qui souhaitent s’ intéresser � l’analyse mathématique des problèmes inverses.


This quantity is dedicated to an creation of elliptic and parabolic inverse difficulties. The target is to provide a few fresh equipment for developing strong point and balance effects. a couple of classical elliptic inverse difficulties are studied, e.g. the inverse conductivity challenge, the detection of corrosion or cracks and inverse spectral difficulties. one of the parabolic inverse difficulties, the vintage challenge of discovering an preliminary distribution of warmth and the positioning of assets is taken into account. This quantity might be of curiosity to all those that are looking to study the mathematical research of inverse problems.

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Example text

Pour une ´etude d´etaill´ee et syst´ematique des ´equations elliptiques, nous renvoyons le lecteur `a D. Gilbarg et N. S. -L. Lions et E. Magenes [LM], O. A. Ladyzhenskaja et N. N. Ural’tzeva [LU] (voir aussi R. -L. Lions [DL], L. C. Evans [Ev], M. Renardy et R. C. Rogers [RR]). 2 Probl` eme de transmission Soient Ω un domaine de Rn , de fronti`ere Γ et ω un ouvert, ω ⊂ Ω, que nous supposons lipschitzien. p. x ∈ Ω et ξ ∈ Rn , pour une certaine constante λ > 0. 13) admet une unique solution variationnelle.

W (a, b; V, V ) s’injecte continˆ Pour compl´eter les r´esultats de ce sous-paragraphe, nous invitons le lecteur a consulter J. L. Lions et E. Magenes [LM]. 4 Quelques formules d’int´ egration par parties Soit Ω un ouvert born´e de classe C 1 , de fronti`ere Γ . Une premi`ere formule classique d’int´egration par parties est ∂i uv = − uvνi , u, v ∈ H 1 (Ω). 5) Ω pour u, v ∈ L2 (0, T ; H 2 (Ω)) ∩ H 1 (0, T ; L2(Ω)). 5 Espaces de type HΔ Soit Ω un ouvert born´e de Rn , de fronti`ere Γ . Nous d´efinissons l’espace HΔ (Ω) comme suit HΔ (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω); Δu ∈ L2 (Ω)}.

Nous v´erifions ais´ement que [(ϕF ) ∗ f0 ]|X = [F ∗ f ]|X et donc Q(D)Ef L2 (X) ≤ Q(D)(ϕF ) ∗ f0 L2 (Rn ) = F [Q(D)(ϕF ) ∗ f0 ] L2 (Rn ) . Or F[Q(D)(ϕF ) ∗ f0 ] = Q(ξ)F (ϕF )F f0 . Par suite, Q(D)Ef L2 (X) ≤ Q(ξ)F (ϕF ) L∞ (Rn ) f L2 (X) . 2) pour d´eduire Q(ξ)F (ϕF ) L∞ (Rn ) ≤ C sup ξ∈Rn |Q(ξ)| . 3) entrainent alors (ii). Nous introduisons maintenant la notion d’op´erateur elliptique. On dit que P (D) est elliptique si aα ξ α = 0 pour tout 0 = ξ ∈ Rn . 4. Soit X un ouvert born´e de Rn et nous supposons que P (D) est elliptique.

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